Математика

Основы геометрии

__________________________________________________________________________________________________

Содержание 

__________________________________________________________________________________________________

Идеальные объекты

Математика работает с идеальными объектами. Но зачем это нужно? Возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая – выпуклая, а у другого наоборот.

Эти треугольники похожи, и, наверное, о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих. В то же время эти треугольники отличаются, что делать?

Математика занимается идеальными объектами, идеальными треугольниками и делает о них некие заключения, которые называются теоремами. Тогда эти заключения помогут описать и первый, и второй треугольник, но с некоторыми приближениями. Чтобы вывести эти теоремы, нужно сказать, что есть идеальный объект – идеальный треугольник. Хотя, если изучать его очень подробно, он тоже будет иметь свои шероховатости. Однако мы принимаем, что есть идеальный объект – треугольник, который составлен из трех отрезков прямых.

__________________________________________________________________________________________________

Базовые геометрические объекты

Базовые геометрические фигуры – это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка – это идеальный математический объект, который не имеет ни длины, ни ширины. Понятно, что если точку нарисовать, то получится далеко не точка, в лучшем случае мы можем считать, что это круг. Хотя, на самом деле, если увеличить изображение точки, оно будет иметь кривые края и т. д. Т. е. это непонятная клякса, если подходить к этому совсем строго.

Для решения различных задач мы используем модели: принимаем, что есть такой объект, как точка, который не имеет ни длины, ни ширины (его размерами мы пренебрегаем). Это удобная для нас модель объекта, размеры которого не важны для решения данной задачи. Важным является ее расположение. Например, точка может обозначать начало некоторого пути.

В обычной жизни мы также пренебрегаем размерами некоторых объектов. Например, пешеход вышел из деревни. Если подробно рассматривать задачу, то возникнет вопрос: из какого места деревни он вышел? Если из дома, то какого дома? Если это неважно (пройденный путь гораздо больше, чем размеры самой деревни), мы говорим, что просто из этой деревни, то есть считаем ее точкой. Когда спортсмены соревнуются в беге на соревнованиях, то там уже важно, с какого именно места они стартуют, где у них расположены ноги и т. д. В этом примере мы не можем сказать: «Стартовал из точки». А, например, город мы можем обозначить за точку, если машина выехала из этого города и удаляется от него на большое расстояние. Точка – один из примеров таких идеальных объектов, причем важно подчеркнуть, что у него нет определения, как и у других базовых понятий.

Следующий базовый объект – это отрезок или прямая, так как отрезок – это часть прямой. Прямая – это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать. Луч – это, условно говоря, половина прямой, часть прямой. Отрезок – часть прямой, ограниченная с двух сторон, то есть имеющая начало и конец.

Говорят, что кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости – это длина отрезка прямой. Но здесь содержится тавтология, так как мы определяем прямую через кратчайшее расстояние, а кратчайшее расстояние – через прямую. Что-то из этого нужно считать определением, а что-то – интуитивно понятным. Важно, что базовые объекты определяются интуитивно (аналогично множествам в алгебре).

__________________________________________________________________________________________________

Комбинации простейших объектов

Следующие конструкции – это комбинации простейших объектов. Например, две прямые. Они или пересекаются на плоскости, или не пересекаются, т. е. параллельны. В жизни много примеров параллельных прямых. Например, железнодорожные рельсы.

Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Т. е. мы сначала вводим объекты, а после – отношения между этими объектами.

Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа – количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби и т. д.

Точно так же мы изучали множества, а затем – отношения между множествами, функции.

Две прямые образуют углы. Если один из них нулевой, то прямые параллельны; если нет – прямые пересекаются. Т. е. угол – это отношение между прямыми.

Существенное отличие угла от таких отношений, как дроби и т. д., в том, что угол ограничен в своем измерении. Максимальный угол – это полный оборот. Мы его считаем равным . Это, конечно, условно. Мы могли бы считать полный оборот равным  или измерять в радианах – . Но есть некая единица измерения угла, и она как бы ограничена. Угла большего, чем  на практике мы представить не можем.

Можно ввести, как мы делали с отрицательными числами, новые объекты. Повернулись на один полный оборот, потом еще раз повернулись и т. д.

 

Мы говорили об этом в тригонометрии, когда обсуждали периодические функции. Там тоже возникает эта задача, когда мы делаем несколько оборотов и не знаем, какой именно угол, то ли , то ли ,  и т. д.

Важно то, что углы можно измерять. Углов бесконечно много, так как от  до  угол может принимать бесконечное множество значений. Из всего множества углов можно выделить наиболее часто встречающиеся.

Развернутый угол – угол, который образует прямая, половина от полного оборота.

При пересечении прямых может образоваться еще один особый угол – прямой.

Замечателен он тем, что прямые, которые его образуют, расположены таким образом, что одна из них не падает ни вправо, ни влево относительно второй. Поэтому мы говорим, что стена дома должна быть расположена перпендикулярно земле, чтобы он не упал и т. д.

Немного вернемся и скажем, почему мы вводим полный угол, зачем он нам и почему полный оборот равен . Углы можно сравнивать. Есть две прямые, то, как они связаны, – это значение угла между ними. Этот угол может быть больше, может быть меньше.

Чтобы сравнить величины, мы используем измерения. Как измерить угол? Можно взять полный круг, его за что-то обозначить и дальше выяснить, какую часть этого круга составляет этот угол.

Угол, который меньше прямого, – острый угол. Больше прямого – тупой.

Дальше мы будем использовать угол, то есть отношение между прямыми, в других фигурах, таких как треугольники и т. д. Сейчас мы знаем, что, если у нас есть две прямые, мы можем ввести отношение, которое называется углом, и, соответственно, сделать некую классификацию. Выделены два угла: один нулевой – его образуют параллельные прямые; прямой угол – образуют перпендикулярные прямые (когда все  угла, образующихся при пересечении двух прямых, равны.

__________________________________________________________________________________________________

Взаимное расположение трех прямых

1-й случай: все три прямые параллельны.

2-й случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.

Рассмотрим такой пример: один человек с закрытыми глазами проводит прямую карандашом, а другой после этого произвольно поворачивает лист – в результате после трех таких операций получится треугольник. Или, например, если с закрытыми глазами бросить три спички на бумагу и продолжить их, то также получится треугольник.

Вывод: три прямые, проведенные на плоскости случайным образом, с вероятностью  образуют треугольник (все остальные предельные случаи – три прямые параллельны, пересекаются в одной точке, две прямые параллельны, а третья их пересекает – вероятны так же, как и выпадение монеты на ребро). Поэтому эту фигуру мы так подробно и изучаем в школе.

__________________________________________________________________________________________________

Треугольник

С одной стороны, треугольник образуют три прямые. Посмотрим на треугольник с другой стороны, т. е. как на фигуру, состоящую из отрезков. Про два отрезка ничего нельзя сказать, они не могут замкнуться, так как всегда есть начало, есть конец, и они не совпадают.

Если добавить третий отрезок, то получим наименьшую возможную замкнутую ломаную – треугольник.

Исходя из этих свойств и особенностей, из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников, и т. д.

Треугольники изучаются потому, что на практике имеют большое значение. Для того чтобы построить устойчивую фигуру, нужно использовать треугольники. Например, вантовый мост. Несущие конструкции состоят как раз из треугольников.

Треугольник также используется для измерения расстояний, а также изучаются его взаимоотношения с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией.

Треугольник часто встречается, но он также легко вычисляем в том смысле, что, зная три элемента треугольника (две стороны и угол между ними; два угла и сторону; три стороны), мы можем вычислить все остальные элементы. Таким образом, треугольник можно рассчитать, а раз можно рассчитать, то, соответственно, можно дальше считать жесткость конструкции или какие-то другие искомые параметры. Например, для произвольного семиугольника мы уже так легко семью элементами не обойдемся. Даже зная все его стороны, не факт, что мы однозначно сможем построить этот семиугольник. Для треугольника все проще: однозначно можно восстановить треугольник по трем элементам, и эта особенность треугольника делает его важнейшим геометрическим объектом.

__________________________________________________________________________________________________

Общие свойства треугольников

Раз треугольник можно задать тремя элементами, то есть смысл ввести некую классификацию треугольников. Сказать, что если два треугольника похожи в каком-то смысле, то мы можем считать, что они имеют какие-то похожие свойства.

Не из любых трех отрезков можно составить треугольник – для этого они должны удовлетворять важному свойству, которое называется неравенством треугольника.

Кратчайшее расстояние между двумя точками – это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.

Неравенство треугольника: сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны. Т. е. это условие, при котором из трех отрезков можно составить треугольник.

Еще одно свойство, которое выполняется для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота, или, по-другому, сумма углов треугольника – два прямых угла.

__________________________________________________________________________________________________

Подобные треугольники

Треугольники можно классифицировать по схожести: подобные (и их частный случай – равные) треугольники – и по симметрии.

Говоря о подобии, необходимо вспомнить, что такое класс эквивалентности. Вспомним, что:  – эквивалентные дроби. Чем они отличаются? Числитель и знаменатель умножены на одно и то же число: .

Аналогично с треугольниками. Нарисуем большой треугольник на доске и в тетради. Мы точно знаем, что они похожи. Когда учитель рисует на доске треугольник и говорит ученикам нарисовать такой же в тетради, то у всех треугольники будут похожи. Это и есть подобные треугольники (семейство подобных треугольников). Чем они отличаются, а чем похожи?

У каждого из треугольников в этом семействе соответствующие углы равны.

С другой стороны, если измерить длины сторон, мы увидим, что они пропорциональны. Например, если у второго треугольника стороны равны соответственно ,

 и , то у первого треугольника они будут уже ,  и . Т. е. стороны отличаются в одно и то же количество раз. Треугольники, у которых длины сторон пропорциональны, а углы равны, называются подобными треугольниками.

Важно понимать, что подобие в математике – это то, что в обычной жизни мы называем схожестью. Нарисовали треугольники или прямоугольники и говорим, что похожи. А почему? Потому, что стороны пропорциональны.

Примером подобия может служить карта. Она подобна местности, которую изображает, а масштаб – это и есть коэффициент подобия (см. рис. 43). Аналогично с треугольниками или другими фигурами.

Второй способ классификации треугольников – это выделение некоторых типов треугольников. Мы говорили, что один из типов – это прямоугольный треугольник. Когда один из углов прямой – это накладывает определенные условия на треугольник. С такими треугольниками мы часто встречаемся в жизни. Прямоугольный треугольник – это также половина прямоугольника и т. д. со всеми вытекающими свойствами.

 

Свойства прямоугольного треугольника:

  • теорема Пифагора: сумма длин квадратов катетов равна квадрату гипотенузы;
  • свойство медианы: медиана, проведенная из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы;
  • с прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии, т. е. говорим о связи геометрии и алгебры. Измеряем углы с помощью отношений. Вводим понятия синуса, косинуса. Знаем, что угол можно задать двумя числами, их отношением.

Пример. Даны два прямоугольных треугольника. Их общий острый угол задается отношением  . Легко увидеть, что эти треугольники подобные и оба эти отношения точно описывают угол. Его можно измерять по-разному, один из вариантов – измерение угла отношением. Так как для всех подобных треугольников эти соотношения будут одинаковые, то значение отношения для этого угла не будет зависеть от треугольника, в котором мы его измеряем. Следовательно, оно универсально, а значит, им можно пользоваться. Мы установили взаимно-однозначное соответствие.

__________________________________________________________________________________________________

Классификация треугольников по его сторонам

Если две стороны треугольника равны, то треугольник называется равнобедренным и понятно, что у него появляется ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист бумаги пополам, то две части треугольника совпадут. Соответственно, это дает определенные свойства этому виду треугольников.

Абсолютно симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны, – это равносторонний треугольник. Данный вид треугольников имеет три оси симметрии. Т. е. если мы повернем треугольник на , то получим точно такой же треугольник.

Данный треугольник задается одним параметром – длиной стороны. Она полностью определяет все значения и размеры в этом треугольнике.

Мы говорим о правильном треугольнике потому, что дальше есть смысл говорить о правильных многоугольниках. Треугольник имеет  угла; четырехугольник –  угла; пятиугольник –  углов и т. д. Соответственно, многоугольник имеет «много углов».

Про четырехугольники мы также много говорим на уроках, так как они тоже изучаемы. Прямоугольник, квадрат, ромб и т. д. Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов и т. д.), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.

Например, мы легко можем посчитать площадь прямоугольника, но вот для -, -угольников трудно выделить какие-то особенные свойства, кроме одного единственного случая, когда многоугольник правильный – все углы, все стороны равны и многоугольник задается одним единственным параметром – длиной стороны. Если увеличивать количество сторон многоугольника, то для нашего глаза полученная фигура ничем не будет отличаться от еще одной простой, но в тоже время сложной фигуры – окружности, которая также задается одним параметром – радиусом. Радиус – это расстояние от центра окружности до любой точки этой окружности. Все окружности подобны, как и все правильные треугольники, четырехугольники и т. д.