Дроби. Рациональные числа

__________________________________________________________________________________________________

Содержание 

• Дроби
• Как поделить что-то неоднородное
• Сложение дробей
• Итоги

_______________________________________________________________________________________________

Дроби

Число – это удобный инструмент для решения различных задач. Посмотрим теперь, какие задачи можно решить с помощью этого инструмента.

Пример 1

Два брата работали, один –  минут, второй –  минут. Мама решила отблагодарить сыновей и принесла торт. Как справедливо разделить торт между братьями?

Как это сделать? Для торта задача кажется не очень простой, так как торт – это одно целое, а разделить нужно на части.

Решим сначала более простую задачу, пусть у нас будет не торт, а  пирожных.

Тогда понятно: один работал  раза по  минут: , а второй –  раз по  минут: , то есть каждые  минут можно оценить в одно пирожное. Значит, первому достанется  пирожных, а второму – .

Попробуем задачу с тортом свести к задаче с пирожными. Для этого торт разрежем на  одинаковых частей, каждую часть можно считать эквивалентом одного пирожного.

Значит, первому брату должно достаться  такие части, а второму – , то есть первому –  торта, а второму – .

Можем сделать вывод: для решения некоторых задач удобным инструментом являются дроби. Можно было не вводить дроби, а ввести новые единицы измерения. Например, была единица измерения – торт, а мы разделим его на  равных частей, у нас есть новая единица – часть торта ( торта). Получается, что дроби не так уж нужны. Но тогда для каждой отдельной задачи нужно будет вводить новые единицы измерения. Поэтому использование дробей унифицирует подход к решению подобных задач.

В школе много внимания уделяется технике работы с дробями, однако важным является и само понятие дробь, а также ограничения при работе с ними. Одно из таких ограничений, свойств дроби: дробь – это часть чего-то. А значит, для того чтобы сложить две дроби, две части чего-то, это «что-то» должно быть одинаковым. Как, например, мы не можем сложить  ручки и  карандаша, оставшись в категории ручек и карандашей, можно лишь сказать, что у нас есть  пишущих предметов, нужно ввести новое понятие.

Рассмотрим такой пример. У нас есть  яблок, возьмём из них  яблока, то есть . Аналогично из еще  яблок возьмём  яблока, то есть . Теперь если мы сложим, то получим  яблока, которые мы взяли из , то есть .

 

Получилось, что . Кажется, что это парадокс, но никакого парадокса здесь нет, ведь  мы считали от разных величин: .

В левой части сократили на , а в правой – на , поэтому и получили ошибку.

То есть важно помнить, что дробь – это часть чего-то. Решая примеры, мы всегда предполагаем, что все дроби в нем – части одного и того же количества.

__________________________________________________________________________________________________

Как поделить что-то неоднородное

Вернемся к примеру с тортом, его легко было разделить на равные части, а если у нас есть, например,  разных грибов.

Как их поделить поровну? Если каждому по , то это нечестно, ведь грибы все разные. Однако всё же есть способ, как разделить их справедливо. Один может поделить грибы на две равные, по его мнению, части, а второй – выбрать любую из них. Тогда деление будет справедливым: если первый одну из частей сделает явно больше, то её выберет второй, и первый сам себя накажет. Значит, он постарается разделить грибы поровну. Ну а второй сам выбирает свою часть, поэтому точно не может считать делёж несправделивым.

__________________________________________________________________________________________________

Сложение дробей

За время похода мы прошли  км, за первый час –  пути, за второй час –  пути. Какую часть пути мы прошли за  часа?

Эта задача кажется несложной,  пути – это  км,  пути – это  км, значит, за  часа мы прошли  км из  км, то есть .

Данный пример решается легко. А что делать в другом случае, когда, например, весь путь  км? В таком случае нам просто нужно разделить путь на  равных частей, и тогда мы снова получим .

То есть нужно разбить на какое-то количество частей, а как его определить? В данном примере нам нужно такое количество частей, от которого легко найти третью и четвертую часть (такое число является общим кратным чисел  и ).

Если бы были другие части, например, прошли  и , тогда удобно было бы поделить на  частей. И так для любого случая. В этом идея наименьшего общего кратного и работы с дробями (приведение дробей к общему знаменателю для того, чтобы сложить или вычесть дроби).

__________________________________________________________________________________________________

Итоги

До этого мы говорили о числовых множествах (натуральные числа, целые числа). Как же дроби связаны с множествами? Когда мы ввели такой инструмент, как дроби, мы ввели множество рациональных чисел. Все числа, которые представимы в виде дроби (, где ,  – целые, ), образуют множество рациональных чисел. В это множество входят все целые числа, так как любое целое число представимо в таком виде (например, дробь со знаменателем ).