Функции
__________________________________________________________________________________________________
Содержание
__________________________________________________________________________________________________
Что такое функция?
Все мы знакомы с понятием функции, функциональной зависимости. В математике этому понятию дали название и уточнили, чтобы его можно было изучать. Мы все знаем, что если напор в кране будет больше, то ванна быстрее наполнится. Это пример зависимости. Или если у двух тел одинаковая плотность, то их масса будет зависеть от объема (чем больше объём, тем больше масса).
Функция – это соответствие между множествами, обладающее определенным свойством. В чем состоит это свойство? Если мы возьмем элемент
из первого множества
, то ему будет соответствовать единственный элемент
второго множества
.
Например, у каждого человека есть размер обуви, причём единственный. Зависимость размера обуви от человека – функциональная. Если рассмотреть обратную зависимость, то она функциональной не будет, так как один и тот же размер обуви может быть у многих людей.
Рассмотрим еще один пример: зависимость между периметром квадрата и его площадью. Зная периметр, можем однозначно найти сторону: 
. Тогда площадь будет: 
. Такая зависимость будет функциональной (каждому квадрату с данным периметром соответствует ровно одно значение площади).
Если рассмотреть зависимость между периметром произвольного прямоугольника и его площадью, то она функциональной не будет. Например, если рассмотреть прямоугольник периметром 
, то его стороны однозначно определить нельзя. Они могут быть все по 
(квадрат), тогда площадь будет 
. Или они могут быть 
, 
, , , тогда площадь будет 
. Или они могут быть 
, 
, , , тогда площадь будет 
. Возможных значений сторон много, значит, площадь нельзя определить однозначно.
Помимо того, что мы увидели, что зависимость между периметром произвольного прямоугольника и его площадью не является функциональной, можно заметить, что при заданном периметре наибольшая площадь будет у квадрата. Это пример экстремальной задачи. Мы уже рассматривали экстремальную задачу – задачу Дидоны. При заданной длине границы наибольшая площадь будет у круга. То есть среди всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшая площадь у квадрата, а если рассмотреть все возможные фигуры с заданным периметром (не только прямоугольники), то у круга.
Для того чтобы задать функцию, нужно определить два множества и правило, по которому между ними устанавливается соответствие. Первое множество называют областью определения и обозначают 
. Например: 
(множество всех действительных чисел). Второе множество называют областью значений и обозначают 
.
Правило, по которому определяется соответствие между элементами множеств, можно задать многими способами, самый привычный для нас – аналитический (с помощью формулы). Например, 
. Отдельно область значений при таком задании функции не определяют, ведь она задаётся автоматически: все возможные значения, которые может принимать 
при всех 
из области определения.
График функции при выглядит следующим образом.
Если бы мы поменяли область определения, то изменилась бы и функция. Например, при 
.
А при 
.
Хотя правило задается одинаково, перед нами три разные функции.
В школьных учебниках часто встречается задание «Найти область определения функции…» В таких заданиях подразумевается поиск естественной области определения, то есть максимального подмножества действительных чисел, элементы которого могут быть аргументами функции. Например, найдем естественную область определения 
. Так как в знаменателе содержится переменная, то может возникнуть деление на 
, которое не определено. Поэтому 
не входит в естественную область определения: 
.
__________________________________________________________________________________________________
Графики функций
График – это как способ визуализации функции, так и способ задания функции. То есть по графику можно увидеть некоторые свойства функций, которые неочевидны при других способах задания функции. Например, имея таблицу значений, ее анализировать сложно, но если те же данные представить в графическом виде, то сразу можно увидеть свойства (видим падение количества при определённой смене).
Также бывают ситуации, когда удобнее использовать табличное представление, например, в статистике.
То есть существуют основные способы задания функций (словесный, аналитический, графический, табличный), каждый из которых будет удобен в зависимости от ситуации.
